《多晶X射線衍射技術(shù)與應(yīng)用》-16（第5章粉末X射線衍射數(shù)據(jù)）

發(fā)布時(shí)間：2022-04-01　　　來(lái)源:北達(dá)燕園微構(gòu)分析測(cè)試中心

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第5章粉末X射線衍射數(shù)據(jù)

5.1 粉末X射線衍射圖的特征數(shù)據(jù)

5.1.1 粉末X射線衍射數(shù)據(jù)

用不同的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)能夠得到樣品的不同形式的衍射圖像。由多晶衍射儀獲得的粉末衍射圖是樣品在三維空間中產(chǎn)生的衍射景象沿掃描圓所作的一個(gè)剖面（profile）上X射線強(qiáng)度（I）隨2θ 變化的曲線圖。

粉末衍射圖上所記錄的隨2θ 變化的X射線強(qiáng)度，其來(lái)源可以粗分為兩大部分：背景線以上由樣品中具有晶態(tài)結(jié)構(gòu)（周期性結(jié)構(gòu)即點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)、長(zhǎng)程有序結(jié)構(gòu)）的部分所給出的衍射強(qiáng)度，和背景線以下由樣品中的非晶態(tài)（玻璃態(tài)、短程有序的）部分所給出的相干散射、樣品的非相干散射（圖1.3）以及其他原因造成的散射的強(qiáng)度。

從一張粉末衍射圖上可以得到哪些有用的信息呢？或者說(shuō)，一張粉末衍射圖有哪些特征數(shù)據(jù)？有四種數(shù)據(jù)：

· 全部衍射峰的位置（2θ），即各衍射方向與其相應(yīng)的晶面的衍射角；

· 全部衍射峰的強(qiáng)度（I），即各與其相應(yīng)的晶面的衍射強(qiáng)度；

· 全部衍射峰的峰形數(shù)據(jù)，衍射峰寬是常用的一個(gè)表征衍射峰形特征的參數(shù)。

· 背景（最大值位置、背景總強(qiáng)度及其與散射總強(qiáng)度之比、和剖面形狀）。

通常說(shuō)某物質(zhì)的“粉末X射線衍射數(shù)據(jù)”至少是指從其衍射圖提取的前兩種數(shù)據(jù)——所有衍射峰的位置和相應(yīng)的強(qiáng)度。例如，在ICDD的PDF卡中（見(jiàn)第8章），代表衍射方向和衍射強(qiáng)度的數(shù)據(jù)分列表示，衍射方向用d值代表（并常示出其相應(yīng)的h、k、l，光盤(pán)版可以隨時(shí)按所選擇的波長(zhǎng)轉(zhuǎn)換為2θ顯示），衍射強(qiáng)度用衍射相對(duì)強(qiáng)度I / I₁（I₁代表最強(qiáng)峰的強(qiáng)度）表示；在其索引中，衍射數(shù)據(jù)合并用一個(gè)帶下標(biāo)的d值表示，下標(biāo)為10級(jí)的相對(duì)強(qiáng)度值，如3.34_x表示面間距為3.34?，強(qiáng)度為100；4.26₂表示面間距為4.26?，強(qiáng)度為20。

這些數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著豐富的樣品微觀結(jié)構(gòu)的信息，是各種粉末X射線衍射應(yīng)用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。因此，從衍射儀掃描直接得到的原始的衍射圖，提取得到樣品的衍射數(shù)據(jù)，是進(jìn)行各種粉末X射線衍射應(yīng)用分析開(kāi)步必經(jīng)的且相同的第一步。相關(guān)的作業(yè)稱為實(shí)測(cè)譜的基本處理。通常每臺(tái)衍射儀都配有原始實(shí)測(cè)譜基本處理的軟件，這也是一些專業(yè)粉末衍射分析軟件的基本模塊。

為了正確用好這些軟件工具，需要對(duì)這些衍射數(shù)據(jù)的物理意義和提取這些數(shù)據(jù)所使用的一些數(shù)學(xué)方法有清晰的了解。

5.1.2 衍射峰位置的確定

在衍射圖上，每一條衍射線的強(qiáng)度剖面表現(xiàn)為有確定位置、有高出背景的強(qiáng)度和確定形狀的“峰”狀。確定衍射峰的位置即測(cè)定與其相應(yīng)的晶面的衍射角。衍射峰的角度位置（峰位）常直接按測(cè)角儀的角度讀數(shù)來(lái)表示，這個(gè)角度是其相應(yīng)的晶面的衍射角θ的兩倍，即2θ。

由于X射線管發(fā)出的光源總有一定的寬度，再加上儀器等因素的作用，任一峰都有一定的寬度，而且峰的兩側(cè)往往是不對(duì)稱的或不完全對(duì)稱的，使得有時(shí)“峰位”不能十分明確地認(rèn)定。確定衍射峰的角度位置通行的方法有下面幾種：

1. 峰巔法：以峰巔的位置 (圖5.1的P₀) 作為衍射峰的峰位。

2. 交點(diǎn)法：在衍射峰的兩翼最接近直線的部分，各引一條延長(zhǎng)線，以它們交點(diǎn) (圖5.1中的P_x) 的2θ位置為峰位。

3. 弦中點(diǎn)法：以衍射峰的半高寬（在背景線以上衍射峰高度的一半處之峰寬）之中點(diǎn)（圖5.1中的P_1/2）為峰位，或者以峰高2/3處寬度的中點(diǎn)或3/4峰高處寬度的中點(diǎn)（圖5.1中的P_2/3和P_3/4）為峰位。

圖5.1　確定衍射峰位置的方法

4. 中心線法：按衍射峰的若干弦的中點(diǎn)連線進(jìn)行外推，與衍射峰曲線相交于一點(diǎn)，以此點(diǎn)的2θ為峰位。較之前三種方法，可以減小主觀誤差。

5. 曲線擬合法：將衍射線頂部的m個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)用拋物線來(lái)擬合，例如衍射峰頂部0.8I_max ~ I_max區(qū)間的強(qiáng)度數(shù)據(jù)，以擬合線的頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的2θ 作為峰頂點(diǎn)的位置2θ_p。

拋物線方程為：

I_i = C₁ + C₂(2θ_i) + C₃(2θ_i)²，i = 1、2、3、……、m（5.1）

拋物線頂點(diǎn)角度即2θ_p為：

2θ_p = - C₂ / (2C₃)（5.2）

用拋物線來(lái)擬合峰頂曲線即用回歸分析確定系數(shù)C₁、C₂、C₃，式（5.1）的正則方程組為：

解此方程組，即得系數(shù)C₁、C₂、C₃，由式（5.2）得到衍射峰位角2θ_p為：

式中

若取衍射峰尖5個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)（用平滑后的數(shù)據(jù)較好），設(shè)為：I₁、I₂、I₃、I₄、I₅，其中I₃為強(qiáng)度最大的點(diǎn)，其2θ位置為2θ₃，采數(shù)步寬為b，由式（5.3）得5點(diǎn)拋物線擬合的峰位2θ_P的計(jì)算公式為：

若取衍射峰尖7個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，I₁、I₂、I₃、I₄、I₅、I₆、I₇，其中I₄為強(qiáng)度最大的點(diǎn)，其2θ位置為2θ₄，則點(diǎn)拋物線擬合的峰位2θ_P的計(jì)算公式為：

6. 重心法：亦稱矩心法，它是以背景線之上整個(gè)衍射峰面積之重心的2θ為峰位，重心的2θ記為<2θ>，定義為：

（5.4）

式中I₍₂_θ₎為2θ處減去背景的衍射強(qiáng)度。如果強(qiáng)度數(shù)據(jù)是按步寬Δ₍₂_θ₎數(shù)字采集的，則

數(shù)學(xué)上式5.5和加權(quán)平均值的計(jì)算式是一樣的。重心法利用了衍射峰的全部數(shù)據(jù)來(lái)確定衍射峰位置的辦法，因此所得的結(jié)果受其它因素的干擾較小，重復(fù)性較好。但計(jì)算工作量較大，適用于計(jì)算機(jī)程序處理的方法。用衍射峰形的重心代表峰形的位置更重要的優(yōu)點(diǎn)是：所有影響峰形位置的n個(gè)因素分別產(chǎn)生的峰形重心的位移若為C₁、C₂、……、C_N，則產(chǎn)生的峰形重心的總位移C就是對(duì)N個(gè)因素的重心位移求和：

這個(gè)性質(zhì)對(duì)于精確峰位測(cè)量和峰形分析十分重要。

7. 導(dǎo)數(shù)法

在計(jì)算機(jī)處理衍射數(shù)據(jù)的峰位自動(dòng)讀出（尋峰）程序中，常用一級(jí)導(dǎo)數(shù)或二級(jí)導(dǎo)數(shù)法。

原則上一個(gè)峰的峰巔位置能從數(shù)據(jù)的一級(jí)導(dǎo)數(shù)符號(hào)從正變負(fù)的位置來(lái)確定；或者從數(shù)據(jù)的二級(jí)導(dǎo)數(shù)負(fù)區(qū)絕對(duì)值最大點(diǎn)的位置來(lái)確定，也可用二級(jí)差分負(fù)區(qū)寬度的中心位置作為峰的位置（類似弦中點(diǎn)法）。

許多衍射分析系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理程序按二級(jí)導(dǎo)數(shù)負(fù)區(qū)絕對(duì)值最大來(lái)確定峰位，并取最大值點(diǎn)及其左右相鄰的各2或3個(gè)點(diǎn)共5或7個(gè)點(diǎn)通過(guò)拋物線擬合曲線后用內(nèi)插法求拋物線頂點(diǎn)的位置作為峰位來(lái)提高峰位2θ的讀出精度。此外，二級(jí)導(dǎo)數(shù)負(fù)區(qū)的寬度應(yīng)等于峰的兩腰拐點(diǎn)間的距離，依據(jù)這個(gè)距離可以近似計(jì)算衍射峰的半高度寬。關(guān)于程序方法，在隨后的下一節(jié)（5.2.4節(jié)）將有進(jìn)一步的詳細(xì)介紹。

以上的各種方法分別適用于不同的情況。對(duì)于人工讀圖，確定峰位常用前三種方法。其中以峰巔法最為方便，最為常用；但缺點(diǎn)是峰巔的位置存在著統(tǒng)計(jì)上的不確定性，亦即對(duì)同一衍射峰進(jìn)行重復(fù)掃描時(shí)，峰巔的位置會(huì)略有變化。后三種方法都需要配合數(shù)值計(jì)算，可以減小主觀判斷誤差。重心法的<2θ>的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差便于進(jìn)行理論分析并加以估算，所以它在精確的實(shí)驗(yàn)工作中有重要的價(jià)值，通常只在精確測(cè)定晶胞參數(shù)時(shí)采用。

5.1.3 衍射峰強(qiáng)度的表示

在衍射儀技術(shù)中，所測(cè)得的射線計(jì)數(shù)或計(jì)數(shù)率對(duì)應(yīng)的是2θ位置上的X射線強(qiáng)度，稱為實(shí)驗(yàn)絕對(duì)強(qiáng)度，其單位是計(jì)數(shù)（counts）或計(jì)數(shù)/秒（counts per second，縮寫(xiě)為cps），也可使用任意單位 (如記錄圖上強(qiáng)度坐標(biāo)的絕對(duì)長(zhǎng)度cm)。但是，所謂衍射線的絕對(duì)強(qiáng)度，指的是被相應(yīng)晶面族衍射的X射線的總能量，是一種積分強(qiáng)度，它應(yīng)該與衍射線剖面之下、背景之上所包圍的面積成正比。因此，要正確獲得衍射峰的面積必須正確劃定背景線（背景線的確定隨后將有介紹）并指定積分求面積的衍射角范圍。

各衍射線剖面的形狀是2θ的函數(shù)，其面積并不簡(jiǎn)單地與峰高成正比。在實(shí)際工作中，作為一個(gè)近似方法，積分強(qiáng)度有時(shí)可用峰頂?shù)摹皟舾叨取保?/span>I_p - I_B）與峰的半高度寬W的乘積 (I_p - I_B)?W來(lái)計(jì)算（即用一個(gè)三角形來(lái)近似一個(gè)衍射峰剖面）。如果要求不高，則衍射強(qiáng)度也可以簡(jiǎn)便地用峰頂?shù)膬舾叨葋?lái)測(cè)量（即假定峰的面積比例于峰高），例如在大多數(shù)物相定性鑒定工作中，習(xí)慣上都采用峰頂高度來(lái)比較各衍射線的相對(duì)強(qiáng)度，以最強(qiáng)峰的峰高為100。

總的說(shuō)來(lái)，常用的“衍射強(qiáng)度”有兩種定義：

1. 峰高強(qiáng)度——以減去背景后的峰頂高度代表一個(gè)衍射峰的強(qiáng)度。此法雖然簡(jiǎn)便，但它最大的缺點(diǎn)是受實(shí)驗(yàn)條件的影響相當(dāng)大(尤其是晶粒大小、晶粒取向)，且受K_α2線重疊度的影響。在不同實(shí)驗(yàn)條件下，峰高可能有明顯的變化，與峰的寬化有關(guān)。只是因?yàn)橛梅ê?jiǎn)便，故在對(duì)衍射強(qiáng)度的測(cè)量誤差要求不嚴(yán)格時(shí)（如在定性物相分析中），常常使用峰高強(qiáng)度。

2. 積分強(qiáng)度——以整個(gè)衍射峰的背景線以上部分的面積作為峰的強(qiáng)度。它代表著相應(yīng)晶面族衍射X射線的總能量，有明確的物理意義。它的優(yōu)點(diǎn)是盡管峰的高度和形狀可能隨實(shí)驗(yàn)條件的不同而變化，但峰的面積卻比較穩(wěn)定，計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì)誤差較小。此外，當(dāng)用K_α雙重線的總面積來(lái)代表衍射線的積分強(qiáng)度時(shí)，可以不必考慮K_α1與K_α2峰的分離問(wèn)題。因此在定量分析等要求強(qiáng)度測(cè)量誤差小的情況下，都采用積分強(qiáng)度。

積分強(qiáng)度的測(cè)量方法有：

(1) 數(shù)字累加。對(duì)于衍射圖的數(shù)字記錄可以用減去背景的數(shù)字強(qiáng)度數(shù)據(jù)累加得到，累計(jì)值乘以采數(shù)步寬即衍射圖上面幾何意義上的“面積”。但在實(shí)驗(yàn)計(jì)算中常常直接以此累計(jì)值作為衍射強(qiáng)度值而不必乘以步寬，因?yàn)椴蓴?shù)步寬是一個(gè)固定值。MSAL X射線衍射儀的控制分析系統(tǒng)配有專用的“凈”積分強(qiáng)度的測(cè)量程序和求峰面積的計(jì)算程序。

(2) 從衍射圖的圖片求衍射峰的強(qiáng)度，可以用過(guò)去從長(zhǎng)圖記錄儀所得的衍射圖求峰面積的方法來(lái)求其面積。如可用計(jì)算法、稱重法或平面積分器等。

(3) 近似計(jì)算，以峰頂?shù)膬舾叨?nbsp;(峰頂高度減背景) 與峰的半高全寬的乘積來(lái)近似代表衍射峰的積分寬度。此種處理的實(shí)質(zhì)是認(rèn)為峰面積近似等于其高與峰高相等、其底寬的1/2與峰的半高寬相同的等腰三角形的面積。

(4) 使用寬度足夠的接收狹縫直接測(cè)量整個(gè)衍射束的光量和鄰近背景區(qū)的光量，兩者之差即為該衍射線的積分強(qiáng)度。

最后還應(yīng)指出，一般X射線衍射線都是K_α1、K_α2雙重線，而且相鄰衍射峰可能有重疊，這兩個(gè)因素都會(huì)造成峰位的偏移，以及使衍射強(qiáng)度增加，因而若需要精確地確定峰位和強(qiáng)度時(shí)，常常有必要進(jìn)行重疊峰的分離，然后才確定單個(gè)峰的峰位及面積。

5.1.4 衍射線的峰形數(shù)據(jù)

1、衍射線的“真實(shí)”峰形

由衍射儀直接獲得的衍射圖上的衍射線峰形，可稱為衍射線的實(shí)測(cè)峰形或?qū)崪y(cè)峰形，并非樣品中實(shí)際晶體的有缺陷的微觀結(jié)構(gòu)所給出的衍射線的“真實(shí)”峰形。實(shí)測(cè)峰形是“真實(shí)”峰形與諸實(shí)驗(yàn)條件因素作用疊加的結(jié)果（即“卷積”的結(jié)果）。真實(shí)峰形數(shù)據(jù)可以從衍射線的實(shí)測(cè)峰形數(shù)據(jù)中提取出來(lái)，是一張粉末衍射圖可以得到的又一類特征數(shù)據(jù)。

真實(shí)峰形數(shù)據(jù)的提取及其應(yīng)用將在后面第10章另作闡述。

2、衍射峰寬，半高全寬和積分寬

形象且易用的描述峰形特征的兩個(gè)峰形特征值是：峰寬和峰的不對(duì)稱因子，是衍射峰的基本參數(shù)之一。它對(duì)判斷或測(cè)量試樣結(jié)晶狀況，晶粒大小、微觀應(yīng)力等極為方便、有用。

1）. 半高全寬FWHM

衍射峰的寬度特征常用衍射峰高1/2處的寬度來(lái)表示，稱為半高度寬或半高全寬，其英文縮寫(xiě)為FWHM（full width at half maximum）。半高寬最為直觀，最常用，但在表征峰寬的幾種特征值中它最沒(méi)有數(shù)學(xué)意義。在此“峰高”為“凈”峰高，即減去背景強(qiáng)度后衍射峰的最大強(qiáng)度，示意如圖5.1的左圖，圖中衍射峰的半高寬為2θ₂-2θ₁。從圖中可以看到，衍射峰的半高寬受K_α2重疊的影響，需要?jiǎng)冸xK_α2峰后，才能得到K_α₁衍射峰的實(shí)際的寬度。

圖5.2示出了一種較精確的求半高寬方法。做法是：扣除背景后，將衍射峰兩側(cè)0.3I_Max~0.7I_Max區(qū)間的衍射強(qiáng)度數(shù)據(jù)（I_Max為峰頂強(qiáng)度）分別回歸為左右兩條直線，即：

(I_i)_l = C₁ + C₂(2θ_i)_li = 1、2、……、n

(I_i)_r = C₃ + C₄(2θ_i)_ri = 1、2、……、n

式中角標(biāo)l、r表示左側(cè)、右側(cè)，i為數(shù)據(jù)在取數(shù)區(qū)間中的序號(hào)。按此兩方程求左、右直線上強(qiáng)度等于0.5I_Max處所對(duì)應(yīng)的衍射角(2θ)_l、(2θ)_r，于是可以求得圖5.2的衍射峰峰形的半高寬為

FWHM = (2θ)_r - (2θ)_l

如果峰位用半高寬的中點(diǎn)，則該峰形的峰位為(2θ)_p = 0.5[(2θ)_r + (2θ)_l]

圖5.2　一種測(cè)定半高寬的方法

2）.積分寬度

衍射峰的半高寬與峰的面積并無(wú)簡(jiǎn)單的關(guān)系，因此在表示衍射峰的寬度又常用另一種定義：積分寬度。積分寬度是這樣一個(gè)參數(shù)，它與衍射峰的最大強(qiáng)度的乘積等于該衍射峰的面積。即積分寬度等于一個(gè)其面積與高分別等于該衍射峰的面積與峰高的矩形的寬度：

積分寬度 = 峰的面積 / 峰高

應(yīng)用衍射峰的積分寬度并選擇適當(dāng)?shù)逆R罩形函數(shù)作為衍射峰的近似函數(shù)，可以大大簡(jiǎn)化峰形分析的計(jì)算，形成了現(xiàn)在衍射線峰形分析的主要方法——積分寬度法。

3）.不對(duì)稱因子

衍射峰的形狀不是對(duì)稱的，尤其是低角度區(qū)（一般指2θ < 30°的范圍）的衍射峰。以衍射峰頂?shù)慕嵌任恢脼榉纸绨蜒苌浞宸譃閮砂?，衍射峰的低角度?cè)與高角度側(cè)的“半峰”的半高寬并不相等。因此表征峰形的不對(duì)稱常用一個(gè)所謂“不對(duì)稱因子”的參數(shù)，不對(duì)稱因子定義為衍射峰的低角度側(cè)與高角度側(cè)的“半峰”的半高寬之比。

3、方差

衍射線峰形的方差（Variance）<B>也能表征峰形的寬度，可以作為衍射線峰形寬度的度量，是峰形的重要參數(shù)，它的定義式是：

（5.6）

式中<2θ>為峰形的重心，I(2θ)為峰形的分布函數(shù)。此式和統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)于分布的偏差平方的平均值（均方偏差）的定義式在數(shù)學(xué)上是一樣的。方差與峰寬的關(guān)系可以用一個(gè)特例來(lái)說(shuō)明：如果峰形近似與Gauss函數(shù)，則以峰位為中心、寬度為方差的平方根( [<B>]^0.5 )的區(qū)域其積分強(qiáng)度將是總積分強(qiáng)度的68.3% 。用峰形的方差來(lái)度量衍射峰的寬化程度，在數(shù)學(xué)上比較嚴(yán)謹(jǐn)，而且便于分析相互疊加影響峰寬的各因素對(duì)峰寬的貢獻(xiàn)。它和重心有類似之處：峰形的重心代表著峰形的位置，卷積構(gòu)成峰形的每個(gè)因素單獨(dú)引起的重心變化有疊加的性質(zhì)。同樣，從決定峰形的各因素間卷積關(guān)系可以證明：如有N個(gè)因素分別引起的方差為(W₂_θ)₁、(W₂_θ)₂、……、(W₂_θ)_N，則整個(gè)實(shí)測(cè)峰形的方差為：

下一篇講解：5.2 粉末衍射峰位與峰強(qiáng)度數(shù)據(jù)的提取

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《多晶X射線衍射技術(shù)與應(yīng)用》-16（第5章 粉末X射線衍射數(shù)據(jù)）