晶體幾何系列之一：晶體的點群與空間群

發(fā)布時間：2020-07-03　　　來源:北達燕園微構分析測試中心

文章原創(chuàng)：曹則賢(中國科學院物理研究所)

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摘要晶體具有規(guī)則的外形，來自內部原子的規(guī)則排列。晶體具有最小的重復單元，是由最小重復單元在三維空間堆積起來的，即晶體具有平移對稱性。對稱性可以用群這個數(shù)學概念來表征。平移對稱性限制了晶體重復單元只有n=1，2，3，4，6次轉軸，因此晶體只有32種點群(單胞的對稱性)。32種點群同三維空間中平移操作的組合，決定了晶體只有230種空間群。不管有多少種具體的晶體，按照對稱性分類只有230種。二維情形下，n=1，2，3，4，6次轉軸加上鏡面反映只能得到10種點群；10種點群與二維空間中的平移操作組合，只能得到17種二維空間群。遠在人類有群論知識之前，許多文明都認識到了二維晶體只有17種對稱性，反映在二維裝飾圖案比如窗欞的設計上。

晶體

圖1 天然晶體：金剛石、水晶和硫磺

圖2 正方體和截角八面體都能充滿整個空間

對稱性與群

圖3 C₅對稱的雞蛋花和D₃對稱的三葉草

二維晶體的點群與空間群

圖4 空間群為pm，p4m，p31m，p6m的二維圖案

三維晶體的點群與空間群

圖5 32 種三維空間點群的關系(此處使用的是Hermann—Mauguin記號)

圖6 從上到下按對稱性排列的14 種布拉菲格子

點群與空間群的再推導

多余的話

參考文獻

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本文選自《物理》2019年第2期

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